Σενάριο για την διδασκαλία της έλλειψης

Γνωστική περιοχή: Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’ Λυκείου

• Ορισμός της έλλειψης 
• Εξίσωση έλλειψης
• Ιδιότητες έλλειψης
• Εκκεντρότητα έλλειψης
• Εφαπτομένη έλλειψης
• Ανακλαστική ιδιότητα
• Εφαρμογές της έλλειψης στην καθημερινότητα

Θέμα: Ο γεωμετρικός τόπος της έλλειψης και οι εφαρμογές της

Τεχνολογικά εργαλεία

To σενάριο προτείνεται να εφαρμοστεί με τη χρήση βιντεοπροβολέα και υπολογιστή και μέσω του λογισμικού προγράμματος Geogebra.

ΣΚΕΠΤΙΚΟ

Βασική ιδέα

Οι μαθητές με τη βοήθεια του λογισμικού θα μελετήσουν την κατασκευή του γεωμετρικού τόπου της έλλειψης και μεταβάλλοντας τις παραμέτρους της θα ανακαλύψουν τα βασικά χαρακτηριστικά της.

Προστιθέμενη αξία

Η επιλογή ενός τέτοιου σεναρίου έχει πολλαπλά κέρδη για τη διδασκαλία αλλά και για τους δύο εμπλεκόμενους σε αυτήν μαθητή και καθηγητή. Αναλυτικότερα, ο μαθητής χτίζει τη γνώση με εποπτικό τρόπο, ακριβή και ευπαρουσίαστα σχήματα της καμπύλης για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων και έτσι δεν γενικεύει συμπεράσματα που ενδεχομένως να προέκυπταν από ένα και μόνο στατικό σχήμα του πίνακα. Οι νέες τεχνολογίες είναι πιο κοντά στην καθημερινότητα του μαθητή και η εισαγωγή τους στην εκπαιδευτική διαδικασία έχει ως σκοπό τη βελτίωση της σχέσης μαθητή – Μαθηματικά. Οι μαθητές γίνονται οι ίδιοι ερευνητές δίνοντας τις δικές τους ιδέες και καταλήγοντας σε δικά τους συμπεράσματα με αποτέλεσμα την επισφαλή γνώση, ενώ η τεχνολογική υποδομή βοηθά προς την κατεύθυνση αυτή. Από την άλλη πλευρά, ο εκπαιδευτικός δοκιμάζει σύγχρονες μεθόδους διδασκαλίας και κάνει την καθημερινότητά του ενδιαφέρουσα, κερδίζει χρόνο αλλά και την προσοχή των μαθητών εφαρμόζοντας το σενάριο που έχει οργανώσει και αναπροσαρμόζει εύκολα το τελευταίο ανάλογα με τις συνθήκες που έχει να αντιμετωπίσει. Δίνεται η ευκαιρία στο μαθητή να γίνει συνεργάτης στο διδακτικό έργο του εκπαιδευτικού με αποτέλεσμα οι ρόλοι των δύο να εναλλάσσονται. Προφανώς, για την καλύτερη διεξαγωγή ενός τέτοιου σεναρίου πρέπει να υπάρχει υλικοτεχνική υποδομή και ενθάρρυνση απ’ όλο το σχολικό περιβάλλον, καθηγητές και διεύθυνση, με σκοπό την βελτίωση της ποιότητας της σχολικής ζωής και του ρόλου του σχολείου στην κοινωνία γενικότερα.

ΠΛΑΙΣΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ

Σε ποιους απευθύνεται

To σενάριο απευθύνεται στους μαθητές που διδάσκονται Μαθηματικά Κατεύθυνσης στη Β’ Λυκείου.

Χρόνος υλοποίησης

Για την εφαρμογή του σεναρίου εκτιμάται ότι απαιτούνται 4-6 διδακτικές ώρες. Εναλλακτικά μπορεί να διατεθούν 3 - 4 διδακτικές ώρες για την υλοποίηση μέρους του σεναρίου και οι υπόλοιπες δραστηριότητες να δοθούν ως εργασία στον ελεύθερο χρόνο των μαθητών.

Χώρος υλοποίησης

To σενάριο θα διεξαχθεί εξ' ολοκλήρου στην σχολική αίθουσα με τη χρήση ενός υπολογιστή και βιντεοπροβολέα και μέρος αυτού θα δοθεί υπό τη μορφή εργασίας στον ελεύθερο χρόνο των μαθητών με αναπροσαρμογή των δραστηριοτήτων και φύλλων εργασίας.

Προαπαιτούμενες γνώσεις
Οι μαθητές πρέπει να:

• Ορίζουν τις έννοιες γεωμετρικός τόπος και καμπύλη
• Καταγράφουν τις εξισώσεις του κύκλου και της παραβολής
• Ορίζουν και κατασκευάζουν την απόσταση σημείου από ευθεία
• Κατασκευάζουν παράλληλες και κάθετες ευθείες
• Ορίζουν την εφαπτομένη της παραβολής σε ένα σημείο αυτής
• Διατυπώνουν την ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής
• Έχουν κάποιες στοιχειώδεις γνώσεις του λογισμικού Geogebra

Στους μαθητές θα δοθούν κατάλληλα φύλλα εργασίας που θα εκπονήσει ο διδάσκων και αναλυτικές οδηγίες (προφορικά ή γραπτά) για την υλοποίηση του σεναρίου.

Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης

Η κωνική τομή της έλλειψης παρουσιάζεται μέσω του λογισμικού. Οι μαθητές καλούνται να εφαρμόσουν τις γνώσεις που ήδη έχουν με σκοπό να ανακαλύψουν τις ιδιότητες, την εφαπτομένη και την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης, πράγμα εύκολο αφού πρόκειται για εφαρμογή των όσων έχουν μάθει στην παραβολή. Επίσης, τους δίνεται η δυνατότητα για εικασίες και παρατηρήσεις. Δίνονται κατάλληλα φύλλα εργασίας στα οποία οι μαθητές καλούνται να εφαρμόσουν αυτά που έχουν διαπραγματευτεί νωρίτερα κάτι που κάνει τη διδασκαλία βιωματική. Ο καθηγητής έχει το ρόλο του διοργανωτή. Αφήνει τους μαθητές να ενεργήσουν και επεμβαίνει όποτε κρίνεται απαραίτητο.

Στόχοι
Με τη διδασκαλία αυτού του μαθήματος επιδιώκεται, οι μαθητές:

• Να μπορούν να διακρίνουν πότε μία εξίσωση είναι εξίσωση έλλειψης και να βρίσκουν τις εστίες, τις κορυφές και την εκκεντρότητά της. 
• Να διατυπώνουν τις βασικές ιδιότητες της έλλειψης και την ποικιλία των εφαρμογών αυτής. 
• Να γράφουν την εξίσωση της εφαπτομένης σ΄ ένα σημείο της έλλειψης. 
• Να διευρύνουν το πεδίο των γεωμετρικών τους γνώσεων με γραμμές εκτός της ευθείας και του κύκλου. 
• Να μπορούν να χτίζουν νέα γνώση πάνω στην υπάρχουσα. 

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Ροή εφαρμογής των δραστηριοτήτων
Οι μαθητές διαπραγματεύονται τις παρακάτω δραστηριότητες.

Δραστηριότητα 1

Στόχος της δραστηριότητας αυτής είναι η κατασκευή του γεωμετρικού τόπου της έλλειψης. Δίνεται, λοιπόν, ο ορισμός της έλλειψης στους μαθητές και το ακόλουθα σχήματα:

Καλό θα είναι ο καθηγητής να έχει ετοιμάσει τα αρχεία του λογισμικού από πριν.

Οι μαθητές με την κατάλληλη καθοδήγηση καταλήγουν στην κατασκευή της έλλειψης ως το σύνολο των σημείων που διαγράφουν οι κύκλοι με κέντρα τις δύο εστίες και άθροισμα των ακτίνων τους σταθερό και ίσο με 2α.

Δραστηριότητα 2

Αποδεικνύεται από τον καθηγητή σε συνεργασία με τους μαθητές η εξίσωση της έλλειψης. Εναλλακτικά, εργάζονται οι μαθητές μόνοι τους ή ανά δύο και συζητούν τα αποτελέσματά τους. Συνίσταται το δεύτερο σε περίπτωση που υπάρχει χρόνος.

Δραστηριότητα 3

Αφού διαπραγματευόμαστε την εξίσωση της έλλειψης στην περίπτωση που οι εστίες της βρίσκονται στον άξονα x΄x, αφήνουμε τους μαθητές να εικάσουν το σχήμα και την εξίσωση της έλλειψης σε περίπτωση που οι εστίες της βρίσκονται στον άξονα y΄y.

Οι μαθητές βγάζουν μόνοι τους τις ομοιότητες και τις διαφορές των ελλείψεων στις δύο περιπτώσεις.

Δραστηριότητα 4

Σκοπός της δραστηριότητας αυτής είναι να ανακαλύψουν οι μαθητές τις ιδιότητες της έλλειψης. Δίνεται χρόνος και γίνεται επαλήθευση των αποτελεσμάτων.

Δραστηριότητα 5

Η δραστηριότητα που ακολουθεί αφορά την εκκεντρότητα της έλλειψης. Οι μαθητές παρατηρούν τις μεταβολές στο σχήμα της έλλειψης όταν αλλάζει η εκκεντρότητά της.

Δραστηριότητα 6

Παρουσιάζεται η ανακλαστική ιδιότητα και οι εφαρμογές της στην Ιατρική, την κίνηση των πλανητών και τις ακουστικές στοές.

Τα εργαλεία που θα χρησιμοποιηθούν

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη βοήθεια του λογισμικού Geogebra. Το συγκεκριμένο λογισμικό δίνει τη δυνατότητα να δουν οι μαθητές τη μεταβολή των σχημάτων όταν αλλάζουν οι παράμετροι της έλλειψης και να μελετήσουν τις οριακές θέσεις αυτής.

Επέκταση

Ως προς την επέκταση οι μαθητές μελετούν την οριακή περίπτωση κατά την οποία οι εστίες της έλλειψης ταυτίζονται. Παρατηρούν ότι πρόκειται για κύκλο και επαληθεύουν την εξίσωση, τις ιδιότητες και την εξίσωση εφαπτομένης.

Αξιολόγηση μετά την εφαρμογή

Ως προς τις επιδιώξεις του σεναρίου: Ο εκπαιδευτικός ελέγχει κατά πόσο επιτεύχθηκαν οι στόχοι του σεναρίου και εξετάζει του λόγους για τους οποίους κάποιοι δεν εκπληρώθηκαν ώστε να παρέμβει ανάλογα στο σενάριο και να κάνει την απαραίτητη ανατροφοδότηση.

Ως προς τα εργαλεία: Ο εκπαιδευτικός ελέγχει την ευκολία με την οποία οι μαθητές αξιοποίησαν τα εργαλεία του προτεινόμενου λογισμικού και των περιγραφών των φύλλων εργασίας. Αφού αξιολογήσει τα δεδομένα του επεμβαίνει ανάλογα στο σενάριο για την επόμενη εφαρμογή.

Ως προς την διαδικασία υλοποίησης: Ο εκπαιδευτικός αξιολογεί την διαδικασία υλοποίησης του σεναρίου αξιολογώντας τα στοιχεία που δεν δούλεψαν καλά και προσαρμόζει το σενάριο.

Ως προς την προσαρμογή και επεκτασιμότητα: Η δυνατότητα επέκτασης του σεναρίου και η ευκολία προσαρμογής σε ένα σχολικό περιβάλλον ή στην διδακτική ατζέντα ενός εκπαιδευτικού ή στην κουλτούρα μιας σχολικής τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σημαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραμέτρους και να προσαρμόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρμόσει το σενάριο πολλές φορές και σε διαφορετικές τάξεις ή ανταλλάξει ιδέες με άλλους συναδέλφους του θα έχει δεδομένα με τα οποία θα μπορεί να κάνει ουσιαστικές προσαρμογές.