Όμιλος "Μαθηματικά & Τέχνη" I

Στον όμιλο «Μαθηματικά και Τέχνη» του Πειραματικού Γυμνασίου Πανεπιστημίου Μακεδονίας κατά το σχολικό έτος του 2021-2022 ασχοληθήκαμε με διαφορετικές ενότητες. Στο πρώτο μέρος, μελετήσαμε παλιότερα θέματα μαθηματικών του Θαλή και προετοιμαστήκαμε για τον διαγωνισμό αυτό, ο οποίος έγινε στο σχολείο μας. Στη συνέχεια, μελετήσαμε τι είναι τέχνη και μεταξύ άλλων συζητήσαμε για τον χορό, την αρχιτεκτονική, τη μουσική, τον κινηματογράφο και ... το παπούτσι που ζωγράφισα;

Ο Αλέξανδρος λοιπόν, σχεδίασε το παπούτσι του στο μάθημα των Εικαστικών και μας το παρουσίασε ως μια μορφή τέχνης κάτι που μας προβλημάτισε για το τι είναι τέχνη. Τα ερωτήματα που προέκυψαν από τα μαθηματικά στην τέχνη ή την τέχνη στα μαθηματικά μας έδωσαν αφορμή για να ψάξουμε περισσότερο τη σχέση Μαθηματικών και Τέχνης. Με την μεθοδολογία της εκπαίδευσης μέσα από την τέχνη, μελετήσαμε τον πίνακα του Βασίλη Καντίνσκι Composition 8, μιλώντας για τα συναισθήματα που μας προκαλεί, για τον ρόλο των σχημάτων και των χρωμάτων στον πίνακα και δώσαμε έναν τίτλο. 

Στη συνέχεια, μελετήσαμε τη σχέση των μαθηματικών και της μουσικής μέσα από ένα φύλλο εργασίας, αλλά και της ζωγραφικής και των μαθηματικών με πίνακες του Λεονάρντο Ντα Βίντσι. Επίσης, μελετήσαμε τα μαθηματικά στα έργα του Έσερ και τις πλακοστρώσεις που προκύπτουν. Με αφορμή τις πλακοστρώσεις αυτές, κάναμε αντίστοιχες κατασκευές στο περιβάλλον του geogebra με γνωστά γεωμετρικά σχήματα αλλά και ζωγραφίσαμε αντίστοιχες πλακοστρώσεις με χειραπτικά υλικά. Επίσης, κατασκευάσαμε το οστομάχιον του Αρχιμήδη που θεωρείται το αρχαιότερο παιχνίδι. 

Στη συνέχεια, ασχοληθήκαμε με την χρυσή τομη και δουλέψαμε σε ομάδες, με θέματα τη χρυσή τομή στη φύση, τη χρυσή τομή στα μαθηματικά και τη χρυσή τομή στην τέχνη. Κάθε ομάδα έφτιαξε τη δική της εργασία και συγκεκριμένα, η ομάδα χρυσή τομή και μαθηματικά (golden maths) μελέτησε αυτή την σχέση με παραδοτέο ένα κείμενο και αρχεία geogebra, η ομάδα χρυσή τομή και φύση (golden nature) ένα βίντεο με την τεχνική stop motion animation για το γεωλογικό δέντρο του κηφήνα και η ομάδα χρυσή τομή και τέχνη (golden art) μια παρουσίαση e-me content.

Τα παραπάνω έργα τα αποστείλαμε σε μαθητικό διαγωνισμό που διοργανώνει το Πρότυπο Γυμνάσιο Ηρακλείου Κρήτης με θέμα "Η Χρυσή Τομή στη ζωή μας" με τα έργα Golden nature και Golden art να λαμβάνουν εύφημο μνεία.

Ομάδα Golden maths

Την εργασία αυτή επιμελήθηκαν οι μαθητές Βύρων και Αλέξανδρος της Β΄ Γυμνασίου και ο σκοπός της είναι να αναδείξει τη χρυσή τομή στα μαθηματικά από τα οποία δημιουργήθηκαν. Αρχικά, παρουσιάζεται ο ορισμός της χρυσής τομής ως η διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος σε δύο μέρη ώστε το μήκος του μεγαλύτερου τμήματος προς το μικρό να ισούται με το μήκος όλου του τμήματος προς το μεγαλύτερο. Ο λόγος αυτός είναι σταθερός, ισούται κατά προσέγγιση με 1,618 και είναι γνωστός ως αριθμός φ προς τιμή του γλύπτη Φειδία που φιλοτέχνησε τον Παρθενώνα. Κι αυτό γιατί η κατασκευή του Παρθενώνα είναι τέτοια ώστε να αναπαράγεται στις αναλογίες του ο χρυσός αριθμός φ. Στη συνέχεια, η εργασία παρουσιάζει τον υπολογισμό του αριθμού φ με τη μέθοδο της διαίρεσης για τις τετραγωνικές ρίζες και διαπιστώνεται ότι ο αριθμός αυτός είναι περίπου 1,618.

Ακολούθως, γίνεται αναφορά στο χρυσό ορθογώνιο και τη γεωμετρική κατασκευή του ξεκινώντας από ένα τετράγωνο. Συγκεκριμένα, στο περιβάλλον του GeoGebra κατασκευάστηκε ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ όπως αυτό που βλέπετε, επιλέχθηκε το μέσο του ΑΒ και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΕ. Με κέντρο το σημείο Ε και ακτίνα ΓΕ δημιουργήθηκε ο διακεκομμένος κύκλος που βλέπετε, το σημείο Ζ ως η τομή της προέκτασης του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ και του κύκλου. Με τη βοήθεια του Πυθαγορείου Θεωρήματος αποδεικνύεται ότι το ορθογώνιο ΑΖΗΔ που είναι χρωματισμένο με μπλε χρώμα είναι χρυσό.

Στη συνέχεια, μελετήθηκε το κανονικό πεντάγωνο στο οποίο φέρνοντας τις διαγώνιους του δημιουργούνται ίσοι λόγοι από τις πλευρές του πολυγώνου προς τα τμήματα ΒΖ, ΒΗ, ΓΖ, κ.ο.κ.  Ακόμη, το κανονικό πεντάγωνο αναπαράγει τον εαυτό του άρα και τις ιδιότητές του φέρνοντας τις διαγώνιους του. Επίσης, το κανονικό πεντάγωνο παράγει το χρυσό ορθογώνιο με πλευρές μία πλευρά του πενταγώνου και τα τμήματα που δημιουργούνται αν φέρω όλες τις διαγώνιους του. Όμοια, χρυσό ορθογώνιο προκύπτει από κανονικό πεντάγωνο με πλευρές μία πλευρά του πενταγώνου και μία διαγώνιο του. Τέλος, χρυσό ορθογώνιο δημιουργείται από αστέρι με πλευρές τη μία πλευρά του εσωτερικού κανονικού πενταγώνου και την πλευρά του αστεριού.

Μελετήθηκε ακόμα και η ακολουθία Φιμπονάτσι η οποία δημιουργείται σταδιακά ξεκινώντας με πρώτο αριθμό το 1, δεύτερο επίσης το 1, ενώ κάθε επόμενο όρος της ακολουθίας προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων. Έτσι, η ακολουθία Φιμπονάτσι είναι 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, κ.ο.κ. Μία ιδιότητα της ακολουθίας αυτής είναι ότι το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων της ισούται περίπου με τον αριθμό φ. Μάλιστα, όσο μεγαλώνουν οι όροι της ακολουθίας τόσο μεγαλύτερη προσέγγιση έχουμε.

Τέλος, δημιουργήθηκε το τρίγωνο του Πασκάλ το οποίο σχηματίζεται από σειρές αριθμών όπου κάθε σειρά έχει έναν παραπάνω όρο. Ουσιαστικά, μοιάζει με ένα δέντρο του οποίου οι άκρες είναι πάντα μονάδες, ενώ το άθροισμα κάθε μεσαίου όρου προκύπτει αν προσθέσουμε τους δύο διαγώνιους αριθμούς που βρίσκονται πάνω από τον αριθμό μας. Παρατηρούμε ότι αν προσθέσουμε τους όρους του διαγώνια εμφανίζεται η ακολουθία Φιμπονάτσι!